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8.1 SIMULATIONS

 

 

INTRODUCTION

 

Les simulations par ordinateur ne jouent pas seulement un rôle important en recherche et dans l’industrie mais également dans le monde de la finance. Elles sont utilisées pour simuler le comportement d’un système réel complexe à l’aide d’un ordinateur. Comparées aux expériences et études réelles, les simulations informatiques présentent l’avantage d’être bon marché, écologiques et de ne présenter aucun danger. Elles ne peuvent cependant pas refléter parfaitement la réalité pour plusieurs raisons:

  • La réalité ne peut jamais être parfaitement représentée par des nombres en raison des erreurs de mesure, sauf pour les problèmes de dénombrement. 

  • Le plus souvent, les interactions entre les différents composants du système ne sont pas connues parfaitement. Ceci vient du fait que les lois sous-jacentes aux phénomènes ne sont pas exactes [plus...La plupart des lois naturelles ne fournissent de toute manière
    que des affirmations statistiques en raison des phénomènes quantiques
    ] or not all influences are taken into account [plus... Le nombre de particules présentes dans un système à N corps peut avoisiner les 1023 ]

Il n’empêche que les simulations informatiques deviennent de plus en plus précises en raison de l’accroissement de la puissance de traitement des ordinateurs. Il suffit de penser aux prévisions météorologiques pour les prochains jours. Le hasard joue un rôle très important dans nos vies puisque nombre de nos décisions ne sont pas prises sur la base d’arguments purement logiques, mais suite à une estimation intuitive de valeurs probabilistes. Le recours au hasard peut également simplifier drastiquement des problèmes possédant une solution exacte. Il est par exemple extrêmement difficile et pratiquement impossible par un algorithme, en un temps raisonnable, le chemin le plus court entre deux villes A et B sur un réseau routier pourvu de nombreuses connexions [plus...On parle ici d’algorithmes stochastiques qui constituent actuellement un domaine de recherche de la plus haute importance]

CONCEPTS DE PROGRAMMATION:
simulation informatique, expérience informatique, fluctuations statistiques

 

 

L’ORDINATEUR COMME PARTENAIRE DE JEU

 

Votre ami Nora suggère le jeu suivant: « tu peux jeter trois dés et tu gagnes un jeton si tu obtiens un 6. En revanche, si tu n’obtiens aucun 6, je gagne et tu dois me donner un jeton ».

A première vue, vous pensez que le jeu est équitable parce que vous y réfléchissez rapidement et que vous réalisez que, pour chaque dé, la probabilité d’obtenir un 6 vaut 1/6. Vous vous dites alors que la probabilité d’obtenir un 6 au premier, au second, ou au troisième jet vaut 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.
 

Il est tout-à-fait possible de tester la validité de ce raisonnement en utilisant l’ordinateur et vos compétences de programmation. On suppose qu’il revient au même de lancer les trois dés en même temps ou l’un après l’autre. En d’autres termes, on suppose que les jets sont indépendants et que toutes les faces du dé surviennent de manière équiprobables avec probabilité 1/6. Il y a essentiellement deux manières d’attaquer ce problème : l’approche statistique et l’approche combinatoire. L’approche statistique correspond au jeu réel. On simule les jets de dés en générant de manière répétée trois nombres aléatoires compris entre 1et 6 et en dénombrant les cas gagnants.

from random import randint

n = 1000 # number of games
won = 0
repeat n:
    a = randint(1, 6)
    b = randint(1, 6)
    c = randint(1, 6)
    if a == 6 or b == 6 or c == 6:
        won += 1
 
print "Won:", won, " of ", n, "games"
print "My winning percentage:", won / n
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

Le résultat de la simulation indique que la probabilité d’un jeu gagnant vaut environ 0.42 et non 0.5 comme on s’y attendait. Cette valeur change bien entendu d’une simulation à l’autre car elle est sujette aux fluctuations statistiques. Comme on peut s’y attendre intuitivement, plus le nombre d’expériences est élevé, plus le résultat est précis.

Les fluctuations statistiques jouent un rôle très important dans les simulations informatiques.

Pour bien comprendre ce phénomène, on reproduit un très grand nombre de fois (disons 10’000 fois) l’expérience consistant à simuler le jeu 100 fois de suite puis on représente dans un diagramme de fréquences le nombre de jeux gagnants. Il en résulte une distribution en forme de cloche, typique en statistiques.

On utilise un GPanel comme fenêtre graphique dans ce programme. On peut également afficher un système de coordonnées avec drawGrid(). On implémente une simulation de 100 jeux consécutifs dans la fonction sim() qui retourne le nombre de jeux gagnants dont on veut investiguer les fluctuations.
 

from gpanel import *
from random import randint

z = 10000
n = 100 

def sim():
    won = 0
    repeat n:
        a = randint(1, 6)
        b = randint(1, 6)
        c = randint(1, 6)
        if a == 6 or b == 6 or c == 6:
            won += 1
    return won

makeGPanel(-10, 110, -100, 1100)
drawGrid(0, 100, 0, 1000)
h = [0] * (n + 1)
title("Simulation started. Please wait...")
repeat z:
    x = sim()
    h[x] += 1
title("Simulation ended")

lineWidth(2)
setColor("blue")
for x in range(n + 1):
    line(x, 0, x, h[x])
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

Le maximum de la distribution se trouve environ à 42 puisque la probabilité de gagner vaut environ 0.42 et que l’on répète le jeu 100 fois. Si vous jouez 100 fois avec Nora, il est possible que vous gagniez plus de 50 fois, bien que la probabilité de gagner ne soit que de 0.42. La probabilité que cela arrive et cependant relativement faible (environ 5%) et le jeu est de ce fait inéquitable. Il faut toujours garder à l’esprit que les expériences par ordinateur impliquant des nombres aléatoires subissent des fluctuations statistiques qui s’atténuent lorsque l’on augmente le nombre d’essais.

 

 

Quant à l’approche combinatoire, on laisse l’ordinateur tester toutes les possibilités de jeter trois dés l’un après l’autre. Le premier, le second et le troisième jet peuvent chacun résulter en un nombre compris entre un et six. On forme tous les triplets de nombres possibles dans la boucle imbriquée et l’on compte le nombre de possibilités totales dans la variable possible alors que l’on dénombre le nombre de cas gagnants dans la variable favorable.

possible = 0
favorable = 0
for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        for k in range(1, 7):
            possible += 1
            if i == 6 or j == 6 or k == 6:
                favorable += 1
print "favorable:", favorable, "possible:", possible
print "My winning percentage:", favorable / possible
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

On voit que le nombre de cas favorables vaut 91 alors que le nombre de cas possibles vaut 216. Cela correspond à une probabilité de jeu gagnant de w = favorable / possible = 91/216 = 0.42, Valeur que nous avait déjà livré la simulation informatique.

 

MATÉRIEL SUPPLÉMENTAIRE

On pourrait bien entendu résoudre ce problème sans utiliser l’ordinateur. Pour cela, on considère les trois événements gagnants E1, E2, E3:

E1: Obtenir un 6 lors du premier jet. Probabilité: 1/6
E2: Pas de 6 lors du premier jet mais lors du deuxième. Probabilité: 5/6 * 1/6
E3:

Pas de six au premier ou second jet, mais 6 lors du troisième.
Probabilité: 5/6 * 5/6 * 1/6

Puisque E1, E2, et E3 sont indépendants les uns des autres, la probabilité d’un jeu gagnant vaut la somme des probabilités, à savoir 1/6 + 5/36 + 25/216 = 91/216 = 0.421296.

On peut se représenter le processus dans un arbre:

Il existe encore une solution plus élégante qui consiste à calculer la probabilité de ne pas gagner, à savoir de n’obtenir aucun six du tout. Celle-ci vaut p = 5/6 * 5/6 * 5/6 = 125/216. De ce fait, la probabilité d’un jeu gagnant vaut w = 1 - p = 91/216.

 

 

EXERCICES

 
1.

Le Duc Ferdinand de Médicis, de Florence, détermine en l’an 1600 que lors d’un jet de trois dés, il y a le même nombre de possibilités d’obtenir un total de 9 ou de 10 points:

Total de 9 points Total de 10 points
1 + 2 + 6 1 + 3 + 6
1 + 3 + 5 1 + 4 + 5
2 + 2 + 5 2 + 2 + 6
2 + 3 + 4 2 + 3 + 5
3 + 3 + 3 2 + 4 + 4

Le Duc s’est cependant aperçu qu’il n’y a pas la même probabilité d’obtenir une somme de 9 qu’une somme de 10. Il s’est donc tourné vers Galilée pour trouver une explication.

Déterminer expérimentalement ces probabilités à l’aide d’une simulation informatique. Utiliser d’abord l’approche statistique puis l’approche combinatoire.

2.

Utiliser une simulation informatique pour déterminer la probabilité qu’au moins deux enfants d’une classe de 20 aient leur anniversaire le même jour. On exclut les années bissextiles.

3.

À Paris, en 1650, le Chevalier de Méré demanda au mathématicien Blaise Pascal de lui indiquer la probabilité d’occurrence des événements suivants:
a. Obtenir un 6 parmi 4 jets successifs
b. Obtenir au moins un double 6 après 24 jets.
Il croyait les deux événements équiprobables puisque, bien que b) ait une probabilité 6 fois moindre, il y a 6 fois plus d’essais à disposition. Avait-il raison?

4*.

Dans le jeu avec Nora, déterminer la probabilité de gagner plus de 50 fois en jouant 100 fois d’affilée.